В данном топике забавы ради и понимания для мы построим в системе Sage полиномы Цернике, которые даны в виде функций в полярных координатах.

Форма и порядок полиномов Цернике (взято из книги Л.И. Балашевича Клиническая корнеотопография и аберрометрия):



По данной таблице можно определить номер полинома:



И формулы разных полиномов в полярной системе координат:



Итак, построим в системе Sage некоторые полиномы. О Sage я писал ранее тут.

Запускаем Sage в консоли из графического режима. Это важно, т.к. для вывода графиков используется графическая утилита Jmol — тут и повращать можно и сделать скриншоты и т.п.

Для начала в консоли Sage декларируем переменные:

sage: r, theta, z = var('r theta z')

Затем создаем трансформацию для полярных координат:

sage: T = Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])
sage: T.transform(radius=r, azimuth=theta, height=z)

Строим 1й наш график:

sage: plot3d(2 * r * sin (theta), (r, 0, 1), (theta, 0, 2*pi), transformation=T)

После выполнения данной комманды будет открыто окно jmol:



Построим полином №3 (астигматизм):

sage: plot3d(sqrt(6) * r^2 * sin (2*theta), (r, 0, 1), (theta, 0, 2*pi), transformation=T)

Построим полином №7 (кома):

sage: plot3d(sqrt( 8 ) * (3 * r^3 - 2 * r) * sin (theta), (r, 0, 1), (theta, 0, 2*pi), transformation=T)

И, например, 19й:

sage: plot3d(sqrt(12) * (5 * r^5 - 4 * r^3) * cos (3*theta), (r, 0, 1), (theta, 0, 2*pi), transformation=T)

Вот так все просто!